Ensembles finis Exemples

$3 x (x - 1) + 2 x > 12 - x$

Étape 1

Simplifiez $3 x (x - 1) + 2 x$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 2 x > 12 - x$

Étape 1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.1

Déplacez $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + 2 x > 12 - x$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 2 x > 12 - x$

Étape 1.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 x^{2} - 3 x + 2 x > 12 - x$

Étape 1.2

Additionnez $- 3 x$ et $2 x$ .

$3 x^{2} - x > 12 - x$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 2.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$3 x^{2} - x + x > 12$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} - x + x$ .

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Étape 2.2.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$3 x^{2} + 0 > 12$

Étape 2.2.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2} > 12$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} > 12$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} > 12$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} > \frac{12}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} > \frac{12}{3}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} > \frac{12}{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Divisez $12$ par $3$ .

$x^{2} > 4$

Étape 4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{4}$

Étape 5

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{4}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\sqrt{4}$ .

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Étape 5.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| x | > \sqrt{2^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > | 2 |$

Étape 5.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| x | > 2$

Étape 6

Écrivez $| x | > 2$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 6.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 6.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > 2$

Étape 6.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 6.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > 2$

Étape 6.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > 2 & x \geq 0 \\ - x > 2 & x < 0 \end{cases}$

Étape 7

Déterminez l’intersection de $x > 2$ et $x \geq 0$ .

$x > 2$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $- x > 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $- x > 2$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{2}{- 1}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{2}{- 1}$

Étape 8.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{2}{- 1}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Divisez $2$ par $- 1$ .

$x < - 2$

Étape 9

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 2$ ou $x > 2$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Étape 11